В дисертації досліджуються питання існування та єдиності розв'язків задачі Коші та періодичної задачі для функціонально-диференціальних рівнянь в скінченновимірних та абстрактних банахових просторах. Встановлено нові теореми про функціонально-диференціальні нерівності, зручні для дослідження однозначної розв'язності початкової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду. Встановлено ефективні "коефіцієнтні" умови, достатні для існування оператора Ґріна задачі Коші для багатовимірних систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь з відхиленнями аргументу довільного характеру, і вказано додаткові умови, які забезпечують позитивність цього оператора. Одержані умови є в певному сенсі непокращуваними. Отримано ефективні умови, необхідні для існування несталих періодичних розв'язків нелінійних автономних різницевих рівнянь з глобально ліпшіцевою нелінійністю у банаховому просторі. Введено поняття абстрактної крайової задачі періодичного типу для функціонально-диференціального рівняння в банаховому просторі та отримано загальні умови некритичності такої задачі. Ключові слова: Функшонально-диференшальне рівняння, відхилення аргументу, задача Коші, оператор Ґріна, періодичний розв'язок, диференціальна нерівність, клин, конус, часткове впорядкування, різницеве рівняння, диференціальне рівняння в банаховому просторі.