Робота присвячена дослідженню задачі про знаходження непокращуваних нерівностей для похідних, задачі про найкраще наближення необмежених операторів лінійними обмеженими операторами та задачі про існування функції, норми похідних якої є заданими числами. Знайдено непокращувані константи в нерівностях для похідних кратно монотонних на напівосі функцій у випадку Lг-норми старшої похідної. Також знайдені точні мультиплікативні нерівності для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля абсолютно монотонних на напівосі функцій та функцій з класу S. В деяких випадках знайдено величину найкращого наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля лінійними операторами, обмеженими на названих функціональних класах. За деяких обмежень на параметри, що визначають розглядувані класи, знайдено модуль неперервності оператора диференціювання на класі абсолютно монотонних на скінченному відрізку функцій. ; Розв'язана задача Колмогорова для трьох чисел про існування функції, що належить одному з розглянутих вище функціональних класів, норми якої та її двох похідних є заданими числами.