Тематика дисертаційної роботи повязана з узагальненням нерівностей, що оцінюють норму проміжної похідної функції через норму самої фукції та норму її похідної більш високого порядку, шляхом зміни оператора диференціювання, степені якого беруть участь у таких нерівностях, достатньо довільним лінійним оператором, що діє в гільбертовому просторі. Основна увага в дисертаційній роботі приділється узагальненню нерівностей, в яких присутні тільки L2-норми, а також нерівностей, що оцінюють L&-норму проміжної похідної через L2-норми самої функції і старшої похідної. Отримано такі узагальнення для степенів самоспряженого, нормального і довільної кількості попарно переставних самоспряжених операторів, що діють у гільбертовому просторі. встановлення твких аналогів здійснено за допомогою засобів, специфічних для гільбертового простору, зокрема із використанням елементів спектральної теорії операторів. Отримані нерівності, а також методи, використані при їх встановленні, дали змогу отримати розвязки ряду задач теорії наближення, зокрема задачі Стєчкіна наближення необмеженого оператора обмеженими; задачі знаходження модуля неперервності оператора на певному класі елементів; задачі наближення класу, що задається степенями оператора, іншим класом, що здається більшими степенями оператора; задачі відновлення знань оператора на класі елементів, заданих із відомою похибкою; задачі наближення необмеженого функціонала лінійними обмеженими фукціоналами на класі елементів гільбертового простору