Робота присвячена теорії нетерових та напівнетерових лінійних операторів у парах банахових просторів. Зокрема, висвітлені основні поняття та означення, встановлено збереження і стійкість індексу відносно компактних і малих збурень для нетерових і напівнетерових операторів. Крім того, дано застосування абстрактних результатів до встановлення нетеровості і знаходження індексу загальних неоднорідних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку. Ключові слова: нетеровий оператор, фредгольмів оператор, індекс, регуляризатор, напівнетеровий оператор. The paper is devoted to the theory of Noetherian and semi-Noetherian linear operators in pairs of Banach spaces. In particular, the basic concepts and definitions are considered, and the preservation and stability of the index relative to compact and small perturbations for the Noetherian and semi-Noetherian operators are established. In addition, the application of abstract results to the establishment of the noetherity and the finding of the index of general inhomogeneous boundary value problems for ordinary differential equations of arbitrary order are given. Keywords: Noetherian operator, Fredholm operator, index of operator, regularizer, semi-noetherian operator.